5. Два одинаковых разноименных точечных заряда притягиваются с силой 4 мН, когда расстояние между ними равно 30 см. После того, как их на короткое время привели в соприкосновение и вновь поместили на прежнее расстояние, сила электрического взаимодействия стала равной 2,25 мН. Определите заряды шариков до их соприкосновения.

Решение:

Пусть начальные заряды шариков равны \( q_1 \) и \( q_2 \). Так как они разноименные, то \( q_2 = -q_1 \). Сила притяжения \( F_1 = 4 \text{ мН} = 4 × 10^{-3} \text{ Н} \). Расстояние \( r = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м} \).

\( F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|q_1 (-q_1)|}{r^2} = k \frac{q_1^2}{r^2} \).

После соприкосновения суммарный заряд \( Q = q_1 + q_2 = q_1 - q_1 = 0 \). Следовательно, после соприкосновения оба шарика будут незаряженными.

Однако в условии задачи сказано, что после соприкосновения сила взаимодействия стала равна \( F_2 = 2.25 \text{ мН} = 2.25 × 10^{-3} \text{ Н} \). Это возможно, если шарики изначально имели разные по модулю заряды, несмотря на то, что они разноименные. Переформулируем условие: пусть начальные заряды \( q_1 \) и \( q_2 \) (один положительный, другой отрицательный).

\( F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 4 \times 10^{-3} \text{ Н} \).

После соприкосновения заряды станут равны: \( q' = \frac{q_1 + q_2}{2} \).

\( F_2 = k \frac{(q')^2}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = 2.25 \times 10^{-3} \text{ Н} \).

Разделим второе уравнение на первое:

\( \frac{F_2}{F_1} = \frac{k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2}}{k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}} = \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{|q_1 q_2|} = \frac{2.25 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{2.25}{4} = 0.5625 \).

\( \frac{(q_1 + q_2)^2}{4|q_1 q_2|} = 0.5625 \)

\( (q_1 + q_2)^2 = 2.25 |q_1 q_2| \).

Пусть \( q_1 = q \) и \( q_2 = -q_0 \). Тогда \( |q_1 q_2| = |q (-q_0)| = q q_0 \).

\( (q - q_0)^2 = 2.25 q q_0 \).

Из \( F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \): \( |q_1 q_2| = \frac{F_1 r^2}{k} = \frac{4 \times 10^{-3} \times (0.3)^2}{9 \times 10^9} = \frac{4 \times 10^{-3} \times 0.09}{9 \times 10^9} = \frac{0.36 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = 0.04 \times 10^{-12} = 4 \times 10^{-14} \).

\( q q_0 = 4 \times 10^{-14} \).

Из \( F_2 = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} \): \( (\frac{q_1 + q_2}{2})^2 = \frac{F_2 r^2}{k} = \frac{2.25 \times 10^{-3} \times (0.3)^2}{9 \times 10^9} = \frac{2.25 \times 10^{-3} \times 0.09}{9 \times 10^9} = \frac{0.2025 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = 0.0225 \times 10^{-12} = 2.25 \times 10^{-14} \).

\( \frac{(q - q_0)^2}{4} = 2.25 \times 10^{-14} \).

\( (q - q_0)^2 = 9 \times 10^{-14} \).

\( q - q_0 = ± 3 \times 10^{-7} \).

Мы имеем систему уравнений:

1) \( q q_0 = 4 \times 10^{-14} \)

2) \( q - q_0 = 3 \times 10^{-7} \) (или \( q - q_0 = -3 \times 10^{-7} \))

Из второго уравнения: \( q = q_0 + 3 \times 10^{-7} \).

Подставим в первое:

\( (q_0 + 3 \times 10^{-7}) q_0 = 4 \times 10^{-14} \)

\( q_0^2 + 3 \times 10^{-7} q_0 - 4 \times 10^{-14} = 0 \).

Решим квадратное уравнение для \( q_0 \). Дискриминант \( D = (3 \times 10^{-7})^2 - 4(1)(-4 \times 10^{-14}) = 9 \times 10^{-14} + 16 \times 10^{-14} = 25 \times 10^{-14} \).

\( √{D} = 5 \times 10^{-7} \).

\( q_0 = \frac{-3 \times 10^{-7} ± 5 \times 10^{-7}}{2} \).

\( q_{0,1} = \frac{-3 \times 10^{-7} + 5 \times 10^{-7}}{2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{2} = 1 \times 10^{-7} \).

\( q_{0,2} = \frac{-3 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7}}{2} = \frac{-8 \times 10^{-7}}{2} = -4 \times 10^{-7} \).

Если \( q_0 = 1 \times 10^{-7} \text{ Кл} \), то \( q = q_0 + 3 \times 10^{-7} = 1 \times 10^{-7} + 3 \times 10^{-7} = 4 \times 10^{-7} \text{ Кл} \).

Проверим \( q q_0 = (4 \times 10^{-7})(1 \times 10^{-7}) = 4 \times 10^{-14} \). Это верно.

Если \( q_0 = -4 \times 10^{-7} \text{ Кл} \), то \( q = q_0 + 3 \times 10^{-7} = -4 \times 10^{-7} + 3 \times 10^{-7} = -1 \times 10^{-7} \text{ Кл} \).

Проверим \( q q_0 = (-1 \times 10^{-7})(-4 \times 10^{-7}) = 4 \times 10^{-14} \). Это верно.

Так как заряды разноименные, один положительный, другой отрицательный. Значит, заряды шариков до соприкосновения были \( 4 \times 10^{-7} \text{ Кл} \) и \( -1 \times 10^{-7} \text{ Кл} \), или \( -1 \times 10^{-7} \text{ Кл} \) и \( 4 \times 10^{-7} \text{ Кл} \).

Ответ: Заряды шариков до соприкосновения были 4 × 10⁻⁷ Кл и -1 × 10⁻⁷ Кл (или наоборот).