5. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

Question

Accepted Answer

Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч).

Тогда скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 10 \) (км/ч).

Пусть \( t_1 \) — время в пути первого автомобиля (ч), а \( t_2 \) — время в пути второго автомобиля (ч).

Расстояние \( S = 560 \) км.

Известно, что \( t_1 = t_2 - 1 \) ч.

Воспользуемся формулой \( t = \frac{S}{v} \):

\( t_1 = \frac{560}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10} \)

\( t_2 = \frac{560}{v_2} \)

Подставим в уравнение \( t_1 = t_2 - 1 \):

\( \frac{560}{v_2 + 10} = \frac{560}{v_2} - 1 \)

Умножим обе части уравнения на \( v_2(v_2 + 10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 560 v_2 = 560 (v_2 + 10) - v_2(v_2 + 10) \)

\( 560 v_2 = 560 v_2 + 5600 - v_2^2 - 10 v_2 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( v_2^2 + 10 v_2 - 5600 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( v_2 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150 \)

Найдем \( v_2 \):

\( v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2} \)

\( v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \)

\( v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_2 = 70 \) км/ч.

Теперь найдём скорость первого автомобиля:

\( v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \) км/ч.

Проверим время в пути:

\( t_1 = \frac{560}{80} = 7 \) ч.

\( t_2 = \frac{560}{70} = 8 \) ч.

\( t_2 - t_1 = 8 - 7 = 1 \) ч, что соответствует условию.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.