5. Докажите, что верно равенство: (p+x)(p-x)-(p-x+c)(p+x-c)-c(c-2x) = 0.

Привет! Давай докажем это равенство, раскрывая скобки и упрощая выражение.

Исходное выражение:

(p+x)(p-x)-(p-x+c)(p+x-c)-c(c-2x)

Шаг 1: Раскрываем первую группу скобок.

(p+x)(p-x) — это формула разности квадратов: p² - x².

Шаг 2: Раскрываем вторую группу скобок.

(p-x+c)(p+x-c). Здесь можно сделать замену, чтобы было проще. Заметим, что (p+x-c) можно переписать как (p - (c-x)), а (p-x+c) как (p + (c-x)). Нет, это не совсем удобно. Давайте раскроем напрямую или сгруппируем иначе.

Перепишем второе произведение так: ((p+c) - x) * ((p-c) + x). Тоже не очень.

Попробуем так: (p - (x-c)) * (p + (x-c)). Это уже похоже на разность квадратов, где A = p, а B = (x-c). Тогда это равно p² - (x-c)².

Раскроем (x-c)²: x² - 2xc + c².

Теперь подставим обратно: p² - (x² - 2xc + c²) = p² - x² + 2xc - c².

Шаг 3: Раскрываем третью группу скобок.

-c(c-2x). Умножаем -c на каждый член внутри скобок:

-c * c = -c²

-c * (-2x) = +2xc

Получаем: -c² + 2xc.

Шаг 4: Собираем всё вместе и упрощаем.

Подставляем раскрытые части в исходное выражение:

(p² - x²) - (p² - x² + 2xc - c²) + (-c² + 2xc)

Теперь убираем скобки. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки у всех членов внутри неё:

p² - x² - p² + x² - 2xc + c² - c² + 2xc

Теперь ищем одинаковые члены с противоположными знаками и сокращаем их:

• p² и -p² (сокращаются)
• -x² и +x² (сокращаются)
• -2xc и +2xc (сокращаются)
• +c² и -c² (сокращаются)

После всех сокращений остается 0.

Вывод:

Мы показали, что левая часть равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Равенство доказано.