5. Для функции f(x) = 5x + 3x² найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку Р(-2; 6).

Решение:

Первообразная для функции \( f(x) = 5x + 3x^2 \) находится путём интегрирования:

\( F(x) = \int (5x + 3x^2) dx \)

\( F(x) = 5 \int x dx + 3 \int x^2 dx \)

\( F(x) = 5 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \)

\( F(x) = 5 \frac{x^2}{2} + 3 \frac{x^3}{3} + C \)

\( F(x) = \frac{5}{2} x^2 + x^3 + C \)

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( P(-2; 6) \). Это значит, что при \( x = -2 \) значение \( F(x) = 6 \).

\( 6 = \frac{5}{2} (-2)^2 + (-2)^3 + C \)

\( 6 = \frac{5}{2} (4) + (-8) + C \)

\( 6 = 10 - 8 + C \)

\( 6 = 2 + C \)

\( C = 6 - 2 \)

\( C = 4 \)

Таким образом, искомая первообразная:

\( F(x) = \frac{5}{2} x^2 + x^3 + 4 \)

Ответ: \( F(x) = x^3 + \frac{5}{2} x^2 + 4 \).