4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: f(x) = 3x² - x³ - 5 на отрезке [1; 3]

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 3x² - x³ - 5 на отрезке [1; 3]:

1. Найдём производную функции:
   \( f'(x) = (3x^2 - x^3 - 5)' = 6x - 3x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
   \( 6x - 3x^2 = 0 \)
   \( 3x(2 - x) = 0 \)
   \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
3. Выберем критические точки, принадлежащие отрезку [1; 3]:
   Точка \( x = 0 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x = 2 \) принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   
   • При \( x = 1 \) (левый конец отрезка):
     \( f(1) = 3(1)^2 - (1)^3 - 5 = 3 - 1 - 5 = -3 \).
   • При \( x = 2 \) (критическая точка):
     \( f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 - 5 = 3(4) - 8 - 5 = 12 - 8 - 5 = -1 \).
   • При \( x = 3 \) (правый конец отрезка):
     \( f(3) = 3(3)^2 - (3)^3 - 5 = 3(9) - 27 - 5 = 27 - 27 - 5 = -5 \).
5. Сравним полученные значения:
   Наибольшее значение равно -1, наименьшее значение равно -5.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [1; 3] равно -1, наименьшее значение равно -5.