4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: f(x)=3x²-x³- 5 на отрезке [1; 3]

Решение:

Сначала найдём производную функции:

\( f(x) = 3x^2 - x^3 - 5 \)

\( f'(x) = (3x^2 - x^3 - 5)' = 6x - 3x^2 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 6x - 3x^2 = 0 \)

\( 3x(2 - x) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Теперь проверим, какие из критических точек попадают в заданный отрезок \( [1; 3] \).

• \( x = 0 \) не входит в отрезок \( [1; 3] \).
• \( x = 2 \) входит в отрезок \( [1; 3] \).

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей в отрезок:

• При \( x = 1 \): \( f(1) = 3(1)^2 - (1)^3 - 5 = 3 - 1 - 5 = -3 \).
• При \( x = 2 \): \( f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 - 5 = 3(4) - 8 - 5 = 12 - 8 - 5 = -1 \).
• При \( x = 3 \): \( f(3) = 3(3)^2 - (3)^3 - 5 = 3(9) - 27 - 5 = 27 - 27 - 5 = -5 \).

Сравним полученные значения:

• Наибольшее значение: \( -1 \) (при \( x = 2 \)).
• Наименьшее значение: \( -5 \) (при \( x = 3 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно \( -1 \), наименьшее значение равно \( -5 \).