5. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на \(\pi\).

Решение:

• Диаметр основания конуса \( d = 6 \) см, следовательно, радиус основания \( r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
• Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника равен 90°.
• Высота конуса \( h \) делит этот угол пополам, образуя два прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников угол при вершине будет \( 90°/2 = 45° \).
• Так как в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (\( 90° - 45° = 45° \)).
• Следовательно, прямоугольный треугольник является равнобедренным. Его катеты равны. Один катет — это радиус основания \( r = 3 \) см, а второй катет — это высота конуса \( h \).
• Значит, \( h = r = 3 \) см.
• Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
• Подставим значения радиуса и высоты: \( V = \frac{1}{3} \pi (3^2) (3) \).
• \( V = \frac{1}{3} \pi (9) (3) \).
• \( V = 9\pi \) см³.
• Нас просят найти объем, деленный на \(\pi\): \( \frac{V}{\pi} = \frac{9\pi}{\pi} = 9 \).

Ответ: 9