№5. Через точку В, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые t и n. Прямая t пересекает плоскости α и β в точках K₁ и K₂ соответственно, а прямая n — в точках P₁ и P₂. Вычислите длину отрезка K₁K₂, если известно, что BK₁ = 8 см и KP₁ : KP₂ = 2:5.

Решение:

Дано: Плоскости \( \alpha \) \( \parallel \) \( \beta \). Точка B лежит между плоскостями. Через B проведены прямые t и n.
Прямая t пересекает \( \alpha \) в K₁, \( \beta \) в K₂.
Прямая n пересекает \( \alpha \) в P₁, \( \beta \) в P₂.
BK₁ = 8 см.
KP₁ : KP₂ = 2 : 5.
Найти: K₁K₂.

Решение:

1. Так как плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) параллельны, то прямая BK₁ и прямая BK₂ лежат на одной прямой t. Аналогично, BP₁ и BP₂ лежат на одной прямой n.
2. Рассмотрим прямую t. Точка B лежит между плоскостями \( \alpha \) и \( \beta \). Точка K₁ лежит в плоскости \( \alpha \), а K₂ — в плоскости \( \beta \).
3. Отрезки K₁K₂ и BP₁ являются секущими, проведенными через точку B и пересекающими параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \).
4. Из условия KP₁ : KP₂ = 2:5 следует, что точка P₁ делит отрезок KP₂ в отношении 2:3 (так как KP₂ = KP₁ + P₁P₂). Или, если считать от точки K, то K₁P₁ : P₁P₂ = 2:3.
5. Рассмотрим прямые t и n, проходящие через точку B и пересекающие параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \).
6. Из условия KP₁ : KP₂ = 2:5, подразумевается, что точки P₁ и P₂ лежат на прямой n. Отрезок K₁K₂ — это отрезок прямой t, а P₁P₂ — отрезок прямой n.
7. По теореме о пересечении параллельных плоскостей секущими, отношение отрезков, отсекаемых плоскостями на параллельных прямых, равно.
8. Рассмотрим прямую t. Точки B, K₁, K₂ лежат на ней. Аналогично, точки B, P₁, P₂ лежат на прямой n.
9. По теореме Фалеса (или о пропорциональных отрезках), для параллельных плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) и секущих прямых t и n, проведенных из точки B, выполняется соотношение: \( \frac{BK_1}{BK_2} = \frac{BP_1}{BP_2} = \frac{K_1P_1}{K_2P_2} \).
10. У нас дано BK₁ = 8 см.
11. Из отношения KP₁ : KP₂ = 2:5, это соотношение относится к отрезкам на прямой n. Таким образом, \( \frac{BP_1}{BP_2} = \frac{2}{5} \).
12. Так как B лежит между плоскостями, то BK₂ = BK₁ + K₁K₂.
13. Из равенства \( \frac{BK_1}{BK_2} = \frac{BP_1}{BP_2} \) имеем: \( \frac{8 \text{ см}}{BK_2} = \frac{2}{5} \).
14. Отсюда \( BK_2 = \frac{8 \text{ см} \times 5}{2} = 20 \text{ см} \).
15. Теперь найдем K₁K₂: \( K_1K_2 = BK_2 - BK_1 = 20 \text{ см} - 8 \text{ см} = 12 \text{ см} \).

Ответ: K₁K₂ = 12 см.