№3. Плоскость α проходит через сторону AC треугольника ABC. Точки D и E середины сторон AB и BC соответственно. Докажите, что прямая DE параллельна плоскости α.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \). Плоскость \( \alpha \) проходит через сторону AC.
D — середина AB, E — середина BC.
Доказать: DE \( \parallel \) \( \alpha \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Точки D и E являются серединами сторон AB и BC соответственно.
2. По теореме о средней линии треугольника, отрезок DE, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине этой стороны. Следовательно, DE \( \parallel \) AC.
3. По условию, плоскость \( \alpha \) проходит через сторону AC. Значит, AC \( \subset \) \( \alpha \).
4. Так как DE \( \parallel \) AC и AC лежит в плоскости \( \alpha \), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая DE параллельна плоскости \( \alpha \).

Что и требовалось доказать.