5. Через точку пересечения биссектрис ΔMNK проведена прямая, параллельная стороне MK и пересекающая сторону MN в точке A, а сторону NK в точке B. Докажите, что AB = MA + KB.

Обозначим точку пересечения биссектрис треугольника \(MNK\) через \(I\). Тогда \(I\in AB\), а \(AB\parallel MK\).

Так как \(AI\parallel MK\), то \(\angle NAI=\angle NMK\). Поскольку \(NI\) — биссектриса угла \(MNK\), а \(AI\parallel MK\), получаем равенство соответствующих отрезков в образовавшихся треугольниках и, в частности, \(AI=MA\).

Аналогично, поскольку \(IB\parallel MK\), а \(KI\) — биссектриса угла \(MKN\), получаем \(IB=KB\).

Точка \(I\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому:

\(AB=AI+IB=MA+KB\).

Доказано.