№ 5. АВ и АС – касательные, ∠AOB = 65°. Найди ∠CAO. (рис. 5)

Решение:

В данном случае, AB и AC являются касательными к окружности с центром O. Точка B и C лежат на окружности.

Рассмотрим треугольник AOB. OB – радиус окружности, проведенный в точку касания B. Следовательно, OB перпендикулярен касательной AB. Это означает, что треугольник AOB является прямоугольным, и угол ∠ABO = 90°.

В прямоугольном треугольнике AOB, сумма углов равна 180°. Нам дан угол ∠AOB = 65°.

Угол ∠OAB = 180° - 90° - 65° = 25°.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. OC – радиус окружности, проведенный в точку касания C. Следовательно, OC перпендикулярен касательной AC, и угол ∠ACO = 90°.

Треугольники AOB и AOC являются прямоугольными треугольниками. У них:

• OB = OC (радиусы окружности)
• AO – общая гипотенуза

Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету (или по трем сторонам, так как AB = AC как отрезки касательных, проведенных из одной точки).

Из равенства треугольников следует, что углы при вершине A равны:

∠OAB = ∠OAC

Так как ∠OAB = 25°, то ∠OAC = 25°.

Угол ∠CAO, который требуется найти, равен ∠OAC.

Ответ: 25°