5. (6¼ · 2²/₁₅ - 5⅓ : 8/9) : 11 + 1¾ - ½

Решение:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
   • \[ 6\frac{1}{4} = \frac{6 \times 4 + 1}{4} = \frac{25}{4} \]
   • \[ 5\frac{1}{3} = \frac{5 \times 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} \]
   • \[ 1\frac{3}{4} = \frac{1 \times 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \]
2. Выполним умножение в первой части выражения:
   • \[ 6\frac{1}{4} \times 2\frac{2}{15} = \frac{25}{4} \times \frac{2 \times 15 + 2}{15} = \frac{25}{4} \times \frac{32}{15} \]
   • \[ = \frac{25 \times 32}{4 \times 15} = \frac{(5 \times 5) \times (4 \times 8)}{4 \times (3 \times 5)} \text{ (сокращаем 5 и 4)} \]
   • \[ = \frac{5 \times 8}{3} = \frac{40}{3} \]
3. Выполним деление во второй части выражения:
   • \[ 5\frac{1}{3} : \frac{8}{9} = \frac{16}{3} : \frac{8}{9} = \frac{16}{3} \times \frac{9}{8} \]
   • \[ = \frac{16 \times 9}{3 \times 8} = \frac{(2 \times 8) \times (3 \times 3)}{3 \times 8} \text{ (сокращаем 8 и 3)} \]
   • \[ = 2 \times 3 = 6 \]
4. Выполним вычитание в скобках:
   • \[ \frac{40}{3} - 6 = \frac{40}{3} - \frac{18}{3} = \frac{40 - 18}{3} = \frac{22}{3} \]
5. Выполним деление:
   • \[ \frac{22}{3} : 11 = \frac{22}{3} \times \frac{1}{11} = \frac{22}{33} \text{ (сокращаем на 11)} \]
   • \[ = \frac{2}{3} \]
6. Выполним сложение и вычитание:
   • \[ \frac{2}{3} + 1\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{7}{4} - \frac{1}{2} \]
   • Найдем общий знаменатель для 3, 4 и 2. Общий знаменатель равен 12:
     • \[ = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{7 \times 3}{4 \times 3} - \frac{1 \times 6}{2 \times 6} \]
     • \[ = \frac{8}{12} + \frac{21}{12} - \frac{6}{12} \]
     • \[ = \frac{8 + 21 - 6}{12} = \frac{23}{12} \]
   • Переведем неправильную дробь в смешанное число:
     • \[ \frac{23}{12} = 1\frac{11}{12} \]

Ответ: 1₉⁄₁₂