5. (3 балла) Решите задачу: Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна \(2\sqrt{7}\), а ее высота равна 9.

Решение:

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \), где \(S_{осн}\) — площадь основания, \(h\) — высота.

Основание пирамиды — квадрат, так как она правильная четырехугольная. Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \( S_{осн} = a^2 \).

В данном случае сторона основания \( a = 2\sqrt{7} \).

Найдем площадь основания:

\( S_{осн} = (2\sqrt{7})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28 \)

Высота пирамиды \( h = 9 \).

Теперь найдём объем:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 9 \)

Упростим:

\( V = 28 \cdot \frac{9}{3} = 28 \cdot 3 \)

\( V = 84 \)

Ответ: 84.