5. (2 балла) Найдите производную функции: 1) \( f(x) = -2x^4 + 5\sqrt{x} - 48 \) 2) \( f(x) = \frac{e^x}{x^2} \)

Решение:

1. \( f'(x) = ( -2x^4 + 5x^{\frac{1}{2}} - 48 )' = -2(x^4)' + 5(x^{\frac{1}{2}})' - (48)' = -2(4x^3) + 5(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) - 0 = -8x^3 + \frac{5}{2\sqrt{x}} \).
2. \( f'(x) = \left( \frac{e^x}{x^2} \right)' \). Используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). \( u = e^x \Rightarrow u' = e^x \). \( v = x^2 \Rightarrow v' = 2x \). \( f'(x) = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2e^x - 2xe^x}{x^4} = \frac{xe^x(x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3} \).

Ответ: 1) \( f'(x) = -8x^3 + \frac{5}{2\sqrt{x}} \); 2) \( f'(x) = \frac{e^x(x - 2)}{x^3} \).