3. (3 балла) Решите неравенство: 1) \( 2^{3x+6} \leq \left( \frac{1}{32} \right)^{x-1} \) 2) \( (8 - x)(2x + 6) \leq 0 \) 3) \(\log_5 (3x + 1) < 2\)

Решение:

1. \( 2^{3x+6} \leq \left( \frac{1}{32} \right)^{x-1} \Rightarrow 2^{3x+6} \leq (2^{-5})^{x-1} \Rightarrow 2^{3x+6} \leq 2^{-5x+5} \). Так как основание степени \( 2 > 1 \), то \( 3x+6 \leq -5x+5 \Rightarrow 8x \leq -1 \Rightarrow x \leq -\frac{1}{8} \).
2. \( (8 - x)(2x + 6) \leq 0 \). Корни: \( x = 8 \) и \( x = -3 \). Парабола \( y = -2x^2 + 10x + 48 \) ветвями вниз. Неравенство выполняется при \( x \leq -3 \) или \( x \geq 8 \).
3. \( \log_5 (3x + 1) < 2 \). Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), то \( 3x + 1 < 5^2 \) и \( 3x + 1 > 0 \). \( 3x < 24 \Rightarrow x < 8 \) и \( 3x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \). Объединяя, получаем \( -\frac{1}{3} < x < 8 \).

Ответ: 1) \( x \leq -\frac{1}{8} \); 2) \( x \in (-\infty; -3] \cup [8; \infty) \); 3) \( x \in \left(-\frac{1}{3}; 8\right) \).