492 Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 16. Известно, что P(18 < X < 24) = 0,1. Вычислите P(8 < X < 14).

Решение:

Случайная величина \( X \) распределена нормально с математическим ожиданием \( \mu = 16 \).

По условию \( P(18 < X < 24) = 0,1 \).

Для нормально распределённой случайной величины выполняется свойство симметрии относительно математического ожидания. Это значит, что вероятности для интервалов, равноотстоящих от среднего, равны.

Рассмотрим интервал \( (18, 24) \). Среднее значение равно \( \mu = 16 \).

Расстояние от среднего до левой границы: \( 18 - 16 = 2 \).

Расстояние от среднего до правой границы: \( 24 - 16 = 8 \).

Интервал \( (8, 14) \) также симметричен относительно \( \mu = 16 \).

Расстояние от среднего до левой границы: \( 16 - 8 = 8 \).

Расстояние от среднего до правой границы: \( 14 - 16 = -2 \) (или \( 16 - 14 = 2 \) по абсолютной величине).

Таким образом, интервал \( (8, 14) \) симметричен интервалу \( (18, 24) \) относительно \( \mu = 16 \) в следующем смысле: \( 16 - 8 = 24 - 16 = 8 \) и \( 16 - 14 = 18 - 16 = 2 \).

По свойству симметрии нормального распределения, вероятность попасть в интервал, который симметричен другому интервалу относительно среднего, будет такой же.

Следовательно, \( P(8 < X < 14) = P(18 < X < 24) \).

Ответ: \( P(8 < X < 14) = 0,1 \).