465. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Решение:

Сумма углов выпуклого \( n \)-угольника равна \( (n-2) \cdot 180^{\circ} \). Величина каждого угла правильного \( n \)-угольника равна \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \).

1. Если каждый угол равен 90°:
   \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} = 90^{\circ} \)
   \( 180n - 360 = 90n \)
   \( 90n = 360 \)
   \( n = 4 \). Это четырёхугольник.
2. Если каждый угол равен 60°:
   \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} = 60^{\circ} \)
   \( 180n - 360 = 60n \)
   \( 120n = 360 \)
   \( n = 3 \). Это треугольник.
3. Если каждый угол равен 120°:
   \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} = 120^{\circ} \)
   \( 180n - 360 = 120n \)
   \( 60n = 360 \)
   \( n = 6 \). Это шестиугольник.
4. Если каждый угол равен 108°:
   \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} = 108^{\circ} \)
   \( 180n - 360 = 108n \)
   \( 72n = 360 \)
   \( n = 5 \). Это пятиугольник.

Ответ: а) 4 стороны; б) 3 стороны; в) 6 сторон; г) 5 сторон.