426. (sin²y+x ctgy) y'=1.

Решение:

Данное уравнение имеет вид \( M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \) или \( y' = f(x, y) \).

Преобразуем уравнение:

\[ y' = \frac{1}{\sin^2 y + x \cot y} \]

Перепишем в виде \( dx/dy \):

\[ \frac{dx}{dy} = \sin^2 y + x \cot y \]

\[ \frac{dx}{dy} - x \cot y = \sin^2 y \]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно \( x \) как функции от \( y \). Вид: \( x' + P(y)x = Q(y) \).

Здесь \( P(y) = -\cot y = -\frac{\cos y}{\sin y} \) и \( Q(y) = \sin^2 y \).

Найдем интегрирующий множитель:

\( \mu(y) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{\cos y}{\sin y} dy} \).

Сделаем замену \( u = \sin y \), тогда \( du = \cos y dy \).

\[ \int -\frac{\cos y}{\sin y} dy = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| = -\ln|\sin y| = \ln|\sin y|^{-1} = \ln|\frac{1}{\sin y}| = \ln|\csc y| \].

Следовательно, \( \mu(y) = e^{\ln|\csc y|} = |\csc y| \).

Будем считать \( \sin y > 0 \), тогда \( \mu(y) = \csc y = \frac{1}{\sin y} \).

Умножим обе части уравнения \( \frac{dx}{dy} - x \cot y = \sin^2 y \) на \( \csc y \):

\( \csc y \frac{dx}{dy} - x \cot y \csc y = \sin^2 y \csc y \).

\( \csc y \frac{dx}{dy} - x \frac{\cos y}{\sin y} \frac{1}{\sin y} = \sin^2 y \frac{1}{\sin y} \).

\( \csc y \frac{dx}{dy} - x \frac{\cos y}{\sin^2 y} = \sin y \).

Левая часть является производной от произведения \( (x \csc y)' \):

\( (x \csc y)' = x' \csc y + x (\csc y)' = \frac{dx}{dy} \csc y + x (-\csc y \cot y) = \csc y \frac{dx}{dy} - x \csc y \cot y \).

Итак, имеем:

\( (x \csc y)' = \sin y \).

Интегрируем обе части по \( y \):

\[ x \csc y = \int \sin y dy \]

\[ x \csc y = -\cos y + C \]

Найдем \( x \):

\( x = \frac{-\cos y + C}{\csc y} = (-\cos y + C) \sin y = C \sin y - \cos y \sin y \).

Используя формулу двойного угла \( \sin(2y) = 2 \sin y \cos y \), имеем \( \sin y \cos y = \frac{1}{2} \sin(2y) \).

\( x = C \sin y - \frac{1}{2} \sin(2y) \).

Ответ: x = C \(\sin\) y - \(\frac{1}{2}\) \(\sin\)(2y).