425. y = x(y' - x cos x).

Решение:

Это дифференциальное уравнение. Преобразуем его:

\( y = x y' - x^2 \cos x \).

Перенесем члены так, чтобы получить уравнение вида \( y' + P(x)y = Q(x) \) или другое известное.

\( x y' - y = x^2 \cos x \).

Разделим на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( y' - \frac{1}{x} y = x \cos x \).

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Здесь \( P(x) = -\frac{1}{x} \) и \( Q(x) = x \cos x \).

Найдем интегрирующий множитель:

\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = |x|^{-1} = \frac{1}{|x|} \).

Предположим \( x > 0 \), тогда \( \mu(x) = \frac{1}{x} \).

Умножим обе части уравнения на \( \frac{1}{x} \):

\( \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x} (x \cos x) \).

\( \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = \cos x \).

Левая часть является производной от произведения \( (\frac{1}{x} y)' \):

\( (\frac{1}{x} y)' = \cos x \).

Интегрируем обе части:

\[ \frac{1}{x} y = \int \cos x dx \]

\[ \frac{1}{x} y = \sin x + C \]

Найдем \( y \):

\( y = x (\sin x + C) = x \sin x + Cx \).

Ответ: y = x \(\sin\) x + Cx.