422. xy' - 2y = 2x^4.

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Приведем его к стандартному виду \( y' + P(x)y = Q(x) \).

Разделим обе части на \( x \) (предполагая \( x \neq 0 \)):

\( y' - \frac{2}{x} y = 2x^3 \).

Здесь \( P(x) = -\frac{2}{x} \) и \( Q(x) = 2x^3 \).

Найдем интегрирующий множитель:

\( \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x|^{-2}} = |x|^{-2} = \frac{1}{x^2} \).

Умножим обе части уравнения на \( \frac{1}{x^2} \):

\( \frac{1}{x^2} y' - \frac{2}{x^3} y = 2x^3 \cdot \frac{1}{x^2} \).

\( \frac{1}{x^2} y' - \frac{2}{x^3} y = 2x \).

Левая часть является производной от произведения \( (\frac{1}{x^2} y)' \):

\( (\frac{1}{x^2} y)' = 2x \).

Интегрируем обе части:

\[ \frac{1}{x^2} y = \int 2x dx \]

\[ \frac{1}{x^2} y = x^2 + C \]

Найдем \( y \):

\( y = x^2 (x^2 + C) = x^4 + Cx^2 \).

Ответ: y = x^4 + Cx^2.