426 Игральный кубик бросают дважды. Вычислите точно вероятность того, что сумма очков отклоняется от своего среднего не менее чем на два стандартных отклонения. Затем оцените её с помощью неравенства Чебышёва.

Решение:

1. Точное вычисление вероятности

Пусть \( X_1 \) — результат первого броска, \( X_2 \) — результат второго броска. \( X_1 \) и \( X_2 \) — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения {1, 2, 3, 4, 5, 6} с вероятностью \( \frac{1}{6} \).

Математическое ожидание одного броска: \( EX_i = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \).

Дисперсия одного броска: \( DX_i = E(X_i^2) - (EX_i)^2 \). \( E(X_i^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \).

\( DX_i = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - 12.25 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \).

Пусть \( S = X_1 + X_2 \) — сумма очков при двух бросках.

Математическое ожидание суммы: \( ES = EX_1 + EX_2 = 3.5 + 3.5 = 7 \).

Дисперсия суммы: \( DS = DX_1 + DX_2 = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6} \).

Стандартное отклонение суммы: \( \sigma = \sqrt{DS} = \sqrt{\frac{35}{6}} \approx \sqrt{5.833} \approx 2.415 \).

Нам нужно найти вероятность того, что сумма очков отклоняется от своего среднего не менее чем на два стандартных отклонения. Это означает \( |S - ES| \ge 2 \sigma \).

\[ 2 \sigma \approx 2 \times 2.415 = 4.83 \]

Таким образом, нас интересует вероятность \( P(|S - 7| \ge 4.83) \).

Возможные значения суммы S:

• Минимальная сумма: 1 + 1 = 2
• Максимальная сумма: 6 + 6 = 12

Рассмотрим значения S, для которых \( |S - 7| \ge 4.83 \):

• \( S - 7 \ge 4.83 \Rightarrow S \ge 11.83 \). Единственное значение: S = 12.
• \( S - 7 \le -4.83 \Rightarrow S \le 2.17 \). Единственное значение: S = 2.

Вероятность получения суммы 2 (1+1) равна \( \frac{1}{36} \).

Вероятность получения суммы 12 (6+6) равна \( \frac{1}{36} \).

Точная вероятность: \( P(|S - 7| \ge 4.83) = P(S=2) + P(S=12) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \).

2. Оценка с помощью неравенства Чебышёва

Неравенство Чебышёва: \( P(|S - ES| \ge ks) \le \frac{1}{k^2} \).

Мы хотим оценить \( P(|S - 7| \ge 2\sigma) \).

В данном случае \( k = 2 \).

\( P(|S - 7| \ge 2\sigma) \le \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \).

Ответ: Точная вероятность равна \( \frac{1}{18} \). Оценка по неравенству Чебышёва: вероятность не более \( \frac{1}{4} \).