424 Случайная величина Х имеет математическое ожидание m и стандартное отклонение s. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность событий: a) |X - m| > s; б) m - 2s < X < m + 2s.

Решение:

Неравенство Чебышёва гласит:

\( P(|X - m| \ge ks) \le \frac{1}{k^2} \) для любого \( k > 0 \).

или в другом виде:

\( P(|X - m| < ks) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \).

а) |X - m| > s;

В данном случае \( k=1 \). Тогда:

\[ P(|X - m| \ge s) \le \frac{1}{1^2} = 1 \]

Это означает, что вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания больше или равно стандартному отклонению, не превосходит 1. Это тривиальная оценка, так как вероятность любого события не может быть больше 1.

б) m - 2s < X < m + 2s.

Это условие можно переписать как \( |X - m| < 2s \). Здесь \( k=2 \). Используя неравенство Чебышёва:

\[ P(|X - m| < 2s) \ge 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что случайная величина X находится в пределах от \( m - 2s \) до \( m + 2s \), не менее \( \frac{3}{4} \).

Ответ: а) \( P(|X - m| \ge s) \le 1 \); б) \( P(m - 2s < X < m + 2s) \ge \frac{3}{4} \).