425 Случайная величина Х имеет математическое ожидание EX = 50 и дисперсию DX = 25. С помощью неравенства Чебышёва оцените снизу вероятность событий: a) 45 < X < 55; б) 35 < X < 65.

Решение:

Дано: \( EX = m = 50 \), \( DX = \sigma^2 = 25 \). Отсюда стандартное отклонение \( \sigma = \sqrt{DX} = \sqrt{25} = 5 \).

Неравенство Чебышёва для оценки снизу:

\( P(|X - m| < ks) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \).

а) 45 < X < 55;

Это условие можно переписать как \( |X - 50| < 5 \). Здесь \( m = 50 \) и \( |X - m| < 5 \). Так как \( s = 5 \), то \( |X - m| < 1 · s \), то есть \( k = 1 \).

Применяем неравенство Чебышёва:

\[ P(|X - 50| < 5) \ge 1 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0 \]

Вероятность не менее 0.

б) 35 < X < 65.

Это условие можно переписать как \( |X - 50| < 15 \). Здесь \( m = 50 \) и \( |X - m| < 15 \). Так как \( s = 5 \), то \( |X - m| < 3 · 5 \), то есть \( k = 3 \).

Применяем неравенство Чебышёва:

\[ P(|X - 50| < 15) \ge 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Вероятность не менее \( \frac{8}{9} \).

Ответ: а) \( P(45 < X < 55) \ge 0 \); б) \( P(35 < X < 65) \ge \frac{8}{9} \).