411. Тело охлаждается за 10 минут от 100° до 60°. Температура окружающей среды поддерживается 20°. Когда тело остынет до 25°?

Решение:

Воспользуемся законом охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды.

\( \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{среды}) \)

где \( T \) — температура тела, \( t \) — время, \( k \) — коэффициент пропорциональности.

Температура окружающей среды \( T_{среды} = 20° \).

\( \frac{dT}{dt} = -k(T - 20) \)

Разделим переменные:

\( \frac{dT}{T - 20} = -k dt \)

Интегрируем:

\( \int \frac{dT}{T - 20} = \int -k dt \)

\( \ln|T - 20| = -kt + C \)

\( T - 20 = e^{-kt + C} = e^C \cdot e^{-kt} \)

\( T(t) = 20 + A e^{-kt} \), где \( A = e^C \) — постоянная.

Известно, что через \( t = 10 \) минут температура тела \( T(10) = 60° \). Изначально \( T(0) = 100° \).

Подставим \( T(0) = 100 \):

\( 100 = 20 + A e^{-k \cdot 0} \)

\( 100 = 20 + A \)

\( A = 80 \)

Теперь формула имеет вид: \( T(t) = 20 + 80 e^{-kt} \).

Подставим \( T(10) = 60 \):

\( 60 = 20 + 80 e^{-10k} \)

\( 40 = 80 e^{-10k} \)

\( e^{-10k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \)

Чтобы найти \( k \), возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

\( -10k = \ln(\frac{1}{2}) \)

\( -10k = -\ln(2) \)

\( k = \frac{\ln(2)}{10} \)

Теперь полная формула температуры: \( T(t) = 20 + 80 e^{-\frac{\ln(2)}{10} t} \).

Нам нужно найти время \( t \), когда \( T(t) = 25° \).

\( 25 = 20 + 80 e^{-\frac{\ln(2)}{10} t} \)

\( 5 = 80 e^{-\frac{\ln(2)}{10} t} \)

\( e^{-\frac{\ln(2)}{10} t} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \)

Возьмем натуральный логарифм:

\( -\frac{\ln(2)}{10} t = \ln(\frac{1}{16}) \)

\( -\frac{\ln(2)}{10} t = -\ln(16) \)

\( \frac{\ln(2)}{10} t = \ln(2^4) \)

\( \frac{\ln(2)}{10} t = 4 \ln(2) \)

Разделим обе части на \( \ln(2) \):

\( \frac{t}{10} = 4 \)

\( t = 40 \) минут.

Ответ: Тело остынет до 25° через 40 минут.