410. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющейся жидкостью. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через один час?

Решение:

Пусть \( S(t) \) — количество соли в баке в кг в момент времени \( t \) (в минутах). Изначально \( S(0) = 10 \) кг.

Объем раствора в баке остается постоянным и равным 100 л, так как скорость подачи воды равна скорости вытекания смеси.

Скорость поступления соли в бак равна 0 (подается чистая вода).

Скорость вытекания соли из бака зависит от концентрации соли в данный момент времени.

Концентрация соли в баке в момент \( t \) равна \( \frac{S(t)}{100} \) кг/л.

Скорость вытекания смеси равна 5 л/мин. Значит, скорость вытекания соли равна \( 5 \cdot \frac{S(t)}{100} = \frac{S(t)}{20} \) кг/мин.

Уравнение изменения количества соли в баке:

\( \frac{dS}{dt} = 0 - \frac{S(t)}{20} \)

\( \frac{dS}{dt} = -\frac{S}{20} \)

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

\( \frac{dS}{S} = -\frac{1}{20} dt \)

Интегрируем обе части:

\( \int \frac{dS}{S} = \int -\frac{1}{20} dt \)

\( \ln|S| = -\frac{1}{20}t + C \)

\( S(t) = e^{-\frac{t}{20} + C} = e^C \cdot e^{-\frac{t}{20}} \)

Обозначим \( A = e^C \), тогда \( S(t) = A e^{-\frac{t}{20}} \).

Используем начальное условие \( S(0) = 10 \):

\( 10 = A e^{-\frac{0}{20}} \)

\( 10 = A \cdot 1 \)

\( A = 10 \)

Таким образом, формула для количества соли в баке: \( S(t) = 10 e^{-\frac{t}{20}} \).

Нас интересует количество соли через один час, то есть через 60 минут.

\( S(60) = 10 e^{-\frac{60}{20}} \)

\( S(60) = 10 e^{-3} \)

\( e^{-3} \approx 0.049787 \)

\( S(60) = 10 \cdot 0.049787 \approx 0.49787 \) кг.

Ответ: Останется примерно 0.498 кг соли.