409. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/3 абсциссы точки касания (рис. 20).

Решение:

Пусть уравнение кривой имеет вид \( y = f(x) \). Точка касания имеет координаты \( (x_0, y_0) \), где \( y_0 = f(x_0) \).

Уравнение касательной к кривой в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \).

Чтобы найти точку пересечения касательной с осью абсцисс, положим \( y = 0 \):

\( 0 - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)

\( -f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \)

\( x - x_0 = -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)

\( x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)

По условию задачи, абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна \( \frac{2}{3} x_0 \).

\( x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = \frac{2}{3} x_0 \)

\( \frac{1}{3} x_0 = \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)

\( f'(x_0) \cdot \frac{1}{3} x_0 = f(x_0) \)

\( \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{x} \)

Это дифференциальное уравнение. Проинтегрируем обе части:

\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{3}{x} dx \)

\( \ln|f(x)| = 3 \ln|x| + C \)

\( \ln|f(x)| = \ln|x^3| + C \)

\( |f(x)| = e^C |x^3| \)

\( f(x) = Ax^3 \), где \( A = \pm e^C \) — произвольная постоянная.

Таким образом, кривые, удовлетворяющие условию, имеют вид \( y = Ax^3 \).

Ответ: y = Ax³.