4. Задание со *

Задание 4. Решение системы уравнений со звездочкой

\( \begin{cases} x^2 + 2y = (x-3)^2 \\ 4y^2 - x = (2y-1)(1+2y) \end{cases} \)

Раскроем скобки и упростим уравнения.

Первое уравнение:

\( x^2 + 2y = x^2 - 6x + 9 \)

\( 2y = -6x + 9 \)

\( y = -3x + \frac{9}{2} \)

Второе уравнение:

\( 4y^2 - x = 4y^2 + 2y - 2y - 1 \)

\( 4y^2 - x = 4y^2 - 1 \)

\( -x = -1 \)

\( x = 1 \)

Подстановка и нахождение y:

Теперь, когда мы нашли \( x = 1 \), подставим это значение в упрощённое первое уравнение:

\( y = -3(1) + \frac{9}{2} \)

\( y = -3 + \frac{9}{2} \)

\( y = -\frac{6}{2} + \frac{9}{2} \)

\( y = \frac{3}{2} \)

Проверка:

Подставим \( x = 1 \) и \( y = \frac{3}{2} \) в исходные уравнения.

Первое уравнение:

\( (1)^2 + 2(\frac{3}{2}) = (1-3)^2 \)

\( 1 + 3 = (-2)^2 \)

\( 4 = 4 \) (Верно)

Второе уравнение:

\( 4(\frac{3}{2})^2 - 1 = (2(\frac{3}{2})-1)(1+2(\frac{3}{2})) \)

\( 4(\frac{9}{4}) - 1 = (3-1)(1+3) \)

\( 9 - 1 = (2)(4) \)

\( 8 = 8 \) (Верно)

Ответ: \( x = 1, y = \frac{3}{2} \).