2. Реши системы уравнений, выбрав оптимальный метод (подстановка или сложение).

Задание 2. Решение систем уравнений

Система а)

\( \begin{cases} x + y = 6 \\ y + 4 = 3x \end{cases} \)

Оптимальный метод — подстановка. Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 6 - x \).

Подставим во второе уравнение:

\( (6 - x) + 4 = 3x \)

\( 10 - x = 3x \)

\( 10 = 4x \)

\( x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = 6 - x = 6 - \frac{5}{2} = \frac{12}{2} - \frac{5}{2} = \frac{7}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{5}{2}, y = \frac{7}{2} \).

Система б)

\( \begin{cases} 5x - 2y = 54 \\ x + 3y = 4 \end{cases} \)

Оптимальный метод — подстановка. Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = 4 - 3y \).

Подставим в первое уравнение:

\( 5(4 - 3y) - 2y = 54 \)

\( 20 - 15y - 2y = 54 \)

\( 20 - 17y = 54 \)

\( -17y = 54 - 20 \)

\( -17y = 34 \)

\( y = \frac{34}{-17} = -2 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 4 - 3y = 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)

Ответ: \( x = 10, y = -2 \).

Система в)

\( \begin{cases} \frac{7}{2}x - \frac{3}{2}y = 2 \\ 0.5y + x = 2 \end{cases} \)

Упростим уравнения. Умножим первое уравнение на 2, второе на 2.

\( \begin{cases} 7x - 3y = 4 \\ y + 2x = 4 \end{cases} \)

Оптимальный метод — подстановка. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 4 - 2x \).

Подставим в первое уравнение:

\( 7x - 3(4 - 2x) = 4 \)

\( 7x - 12 + 6x = 4 \)

\( 13x = 16 \)

\( x = \frac{16}{13} \)

Теперь найдём \( y \):

\( y = 4 - 2x = 4 - 2(\frac{16}{13}) = 4 - \frac{32}{13} = \frac{52}{13} - \frac{32}{13} = \frac{20}{13} \)

Ответ: \( x = \frac{16}{13}, y = \frac{20}{13} \).