4. y = 3x^2 - 19x + 22 y = -x^2 + 3x - 2

Решение:

Найдем точки пересечения функций:

\( 3x^2 - 19x + 22 = -x^2 + 3x - 2 \)

\( 3x^2 - 19x + 22 + x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\( 4x^2 - 22x + 24 = 0 \)

Разделим на 2:

\( 2x^2 - 11x + 12 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

\( x_2 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)

Проверим, какая функция выше на интервале \( [1.5, 4] \). Возьмём \( x = 2 \):

\( y_1 = 3(2)^2 - 19(2) + 22 = 3(4) - 38 + 22 = 12 - 38 + 22 = -4 \)

\( y_2 = -(2)^2 + 3(2) - 2 = -4 + 6 - 2 = 0 \)

Функция \( y = -x^2 + 3x - 2 \) находится выше.

Площадь фигуры:

\( S = \int_{1.5}^{4} ((-x^2 + 3x - 2) - (3x^2 - 19x + 22)) dx \)

\( S = \int_{1.5}^{4} (-4x^2 + 22x - 24) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{4}{3}x^3 + 11x^2 - 24x \right]_{1.5}^{4} \)

\( S = \left( -\frac{4}{3}(4)^3 + 11(4)^2 - 24(4) \right) - \left( -\frac{4}{3}(1.5)^3 + 11(1.5)^2 - 24(1.5) \right) \)

\( S = \left( -\frac{4}{3}(64) + 11(16) - 96 \right) - \left( -\frac{4}{3}(\frac{27}{8}) + 11(\frac{9}{4}) - 36 \right) \)

\( S = \left( -\frac{256}{3} + 176 - 96 \right) - \left( -\frac{9}{2} + \frac{99}{4} - 36 \right) \)

\( S = \left( -\frac{256}{3} + 80 \right) - \left( -4.5 + 24.75 - 36 \right) \)

\( S = \left( -\frac{256}{3} + \frac{240}{3} \right) - \left( -15.75 \right) \)

\( S = -\frac{16}{3} + 15.75 \)

\( S = -5.333... + 15.75 = 10.41666... \)

\( S = -\frac{16}{3} + \frac{63}{4} = \frac{-64 + 189}{12} = \frac{125}{12} \)

Ответ: 125/12.