1. y = x^2 - 5x + 4 y = -x^2 + 5x - 4

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями, сначала найдём точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( x^2 - 5x + 4 = -x^2 + 5x - 4 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 - 5x + 4 + x^2 - 5x + 4 = 0 \)

\( 2x^2 - 10x + 8 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

Теперь определим, какая функция находится выше на интервале \( [1, 4] \). Возьмём пробную точку \( x = 2 \):

\( y_1 = 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 \)

\( y_2 = -(2^2) + 5 \cdot 2 - 4 = -4 + 10 - 4 = 2 \)

Функция \( y = -x^2 + 5x - 4 \) находится выше.

Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций по найденным пределам:

\( S = \int_{1}^{4} ((-x^2 + 5x - 4) - (x^2 - 5x + 4)) dx \)

\( S = \int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x \right]_{1}^{4} \)

\( S = \left( -\frac{2}{3}(4)^3 + 5(4)^2 - 8(4) \right) - \left( -\frac{2}{3}(1)^3 + 5(1)^2 - 8(1) \right) \)

\( S = \left( -\frac{2}{3}(64) + 5(16) - 32 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 5 - 8 \right) \)

\( S = \left( -\frac{128}{3} + 80 - 32 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 3 \right) \)

\( S = \left( -\frac{128}{3} + 48 \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{9}{3} \right) \)

\( S = \left( -\frac{128}{3} + \frac{144}{3} \right) - \left( -\frac{11}{3} \right) \)

\( S = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = \frac{27}{3} = 9 \)

Ответ: 9.