2. y = 3x^2 - 15x + 8 y = -x^2 + 5x - 8

Решение:

Найдем точки пересечения функций:

\( 3x^2 - 15x + 8 = -x^2 + 5x - 8 \)

\( 3x^2 - 15x + 8 + x^2 - 5x + 8 = 0 \)

\( 4x^2 - 20x + 16 = 0 \)

Разделим на 4:

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

Проверим, какая функция выше на интервале \( [1, 4] \). Возьмём \( x = 2 \):

\( y_1 = 3(2)^2 - 15(2) + 8 = 3(4) - 30 + 8 = 12 - 30 + 8 = -10 \)

\( y_2 = -(2)^2 + 5(2) - 8 = -4 + 10 - 8 = -2 \)

Функция \( y = -x^2 + 5x - 8 \) находится выше.

Площадь фигуры:

\( S = \int_{1}^{4} ((-x^2 + 5x - 8) - (3x^2 - 15x + 8)) dx \)

\( S = \int_{1}^{4} (-4x^2 + 20x - 16) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{4}{3}x^3 + 10x^2 - 16x \right]_{1}^{4} \)

\( S = \left( -\frac{4}{3}(4)^3 + 10(4)^2 - 16(4) \right) - \left( -\frac{4}{3}(1)^3 + 10(1)^2 - 16(1) \right) \)

\( S = \left( -\frac{4}{3}(64) + 10(16) - 64 \right) - \left( -\frac{4}{3} + 10 - 16 \right) \)

\( S = \left( -\frac{256}{3} + 160 - 64 \right) - \left( -\frac{4}{3} - 6 \right) \)

\( S = \left( -\frac{256}{3} + 96 \right) - \left( -\frac{4}{3} - \frac{18}{3} \right) \)

\( S = \left( -\frac{256}{3} + \frac{288}{3} \right) - \left( -\frac{22}{3} \right) \)

\( S = \frac{32}{3} + \frac{22}{3} = \frac{54}{3} = 18 \)

Ответ: 18.