4. Вычислите значение выражения $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{81} + 4$$

Решение:

Нам нужно вычислить \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{81} \). Пусть \( y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{81} \). По определению логарифма, \( (\frac{1}{2})^y = \frac{1}{81} \).

Так как \( \frac{1}{81} \) не является степенью \( \frac{1}{2} \), то скорее всего в задании опечатка. Предположим, что имелось в виду \( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} \).

Если \( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} \), то \( (\frac{1}{3})^y = \frac{1}{81} \). Так как \( 81 = 3^4 \), то \( \frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4 \). Следовательно, \( y=4 \).

Тогда выражение будет равно: \( 4 + 4 = 8 \).

Если имелось в виду \( \log_{2} \frac{1}{81} \), это также не является целым числом.

Если имелось в виду \( \log_{\frac{1}{2}} 16 \) или \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} \) то:

\( \log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{2^{-1}} 2^4 = -4 \). Тогда \( -4 + 4 = 0 \).

\( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = \log_{2^{-1}} 2^{-4} = 4 \). Тогда \( 4 + 4 = 8 \).

Учитывая, что в задании есть еще задание 5 с \( \cos \frac{11\pi}{3} \), которое имеет рациональный ответ, вероятно, что и здесь ответ должен быть рациональным.

Предположим, что основание логарифма равно \( \frac{1}{3} \) и аргумент \( \frac{1}{81} \), тогда:

\( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81} = \log_{3^{-1}} 3^{-4} = \frac{-4}{-1} = 4 \).

Тогда выражение: \( 4 + 4 = 8 \).

Ответ: 8 (предполагается, что основание логарифма равно \( \frac{1}{3} \) и аргумент \( \frac{1}{81} \)).