4. Вычислите: \(\frac{\sqrt[5]{11} \cdot \sqrt[2]{11}}{\sqrt[10]{11} \cdot \sqrt[3]{11}}\)

Решение:

1. Представим корни в виде степеней: \( \sqrt[5]{11} = 11^{\frac{1}{5}} \), \( \sqrt[2]{11} = 11^{\frac{1}{2}} \), \( \sqrt[10]{11} = 11^{\frac{1}{10}} \), \( \sqrt[3]{11} = 11^{\frac{1}{3}} \).
2. Подставим степени в выражение: \[ \frac{11^{\frac{1}{5}} \cdot 11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{10}} \cdot 11^{\frac{1}{3}}} \]
3. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{11^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{10} + \frac{1}{3}}} \]
4. Приведём дроби в показателях к общему знаменателю: \( \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2+5}{10} = \frac{7}{10} \), \( \frac{1}{10} + \frac{1}{3} = \frac{3+10}{30} = \frac{13}{30} \).
5. Выражение примет вид: \[ \frac{11^{\frac{7}{10}}}{11^{\frac{13}{30}}} \]
6. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 11^{\frac{7}{10} - \frac{13}{30}} \]
7. Вычислим показатель степени: \( \frac{7}{10} - \frac{13}{30} = \frac{21 - 13}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \).
8. Итоговый результат: \( 11^{\frac{4}{15}} \).

Ответ: 11^4/15