4. Вычислите: а) \(\frac{6^{15} × 6^{11}}{6^{24}}\) б) \(\frac{(5^3)^5 × 3^{16}}{9 \u00D7 225^7}\)

Решение:

1. а) Вычисление \(\frac{6^{15} × 6^{11}}{6^{24}}\):
• Используем свойства степеней: \(a^m × a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
• \[ \frac{6^{15} × 6^{11}}{6^{24}} = \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} \]
• \[ 6^{26-24} = 6^2 \]
• \[ 6^2 = 36 \]
2. б) Вычисление \(\frac{(5^3)^5 × 3^{16}}{9 × 225^7}\):
• Приведем все числа к простым множителям.
• \[ (5^3)^5 = 5^{3 × 5} = 5^{15} \]
• \[ 9 = 3^2 \]
• \[ 225 = 15^2 = (3 × 5)^2 = 3^2 × 5^2 \]
• Теперь подставим это в исходное выражение:
• \[ \frac{5^{15} × 3^{16}}{3^2 × (3^2 × 5^2)^7} \]
• \[ \frac{5^{15} × 3^{16}}{3^2 × 3^{14} × 5^{14}} \]
• \[ \frac{5^{15} × 3^{16}}{3^{2+14} × 5^{14}} = \frac{5^{15} × 3^{16}}{3^{16} × 5^{14}} \]
• Сократим одинаковые множители:
• \[ \frac{5^{15}}{5^{14}} = 5^{15-14} = 5^1 = 5 \]

Ответ: а) 36; б) 5