4. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD = CD, ∠B = 101°, ∠D = 105°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник ABCD обладает свойством, что \( AB = BC \) и \( AD = CD \). Это означает, что точки A и C равноудалены от точек B и D соответственно. Такие четырехугольники называются дельтоидами (или ромбами, если все стороны равны).

Диагональ BD является осью симметрии, если AB=AD и CB=CD. В нашем случае, диагональ AC является осью симметрии, так как AB=BC и AD=CD.

У четырехугольника, где две пары смежных сторон равны (AB=BC и AD=CD), диагональ AC является биссектрисой углов A и C, а диагональ BD перпендикулярна AC и делит ее пополам.

Сумма углов четырехугольника равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ} \)

\( \angle A + 101^{\circ} + \angle C + 105^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle A + \angle C + 206^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle A + \angle C = 360^{\circ} - 206^{\circ} = 154^{\circ} \)

В таком четырехугольнике (дельтоиде), углы, противолежащие равным сторонам, равны, то есть \( \angle B = \angle D \), если AC - ось симметрии. Но у нас \( \angle B = 101^{\circ} \) и \( \angle D = 105^{\circ} \), они не равны. Это означает, что AC не является осью симметрии.

В дельтоиде, где \( AB = BC \) и \( AD = CD \), диагональ BD является осью симметрии. Это значит, что \( \angle BAC = \angle BCA \) и \( \angle DAC = \angle DCA \). И \( \angle ABD = \angle CBD \) и \( \angle ADB = \angle CDB \).

В таком случае, \( \angle A = \angle C \).

Пусть \( \angle A = \angle C = x \).

Тогда:

\[ x + 101^{\circ} + x + 105^{\circ} = 360^{\circ} \]

\( 2x + 206^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( 2x = 360^{\circ} - 206^{\circ} \)

\( 2x = 154^{\circ} \)

\( x = \frac{154^{\circ}}{2} = 77^{\circ} \)

Значит, \( \angle A = 77^{\circ} \).

Ответ: 77