4. * В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠A = 45°, АС = 12 см, BD — биссектриса. а) Между какими целыми числами заключено расстояние от точки В до стороны АВ? б) Найдите длину отрезка MN, где DM ⊥ AB, DN ⊥ BC.

Задание 4

а) Расстояние от точки В до стороны АВ

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• \( \angle B = 90^\circ \)
• \( \angle A = 45^\circ \)
• \( AC = 12 \) см
• \( BD \) — биссектриса.

Найти: расстояние от точки \( B \) до стороны \( AB \).

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

В данном случае, точка — \( B \), а прямая — сторона \( AB \).

Точка \( B \) уже лежит на прямой \( AB \).

Следовательно, расстояние от точки \( B \) до прямой \( AB \) равно 0.

Ответ: Между 0 и 1.

б) Длина отрезка MN

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• \( \angle B = 90^\circ \)
• \( \angle A = 45^\circ \)
• \( AC = 12 \) см
• \( BD \) — биссектриса.
• \( DM \perp AB \)
• \( DN \perp BC \)

Найти: длину отрезка \( MN \).

Решение:

1. Сначала найдем углы треугольника \( ABC \): \( \angle B = 90^\circ \), \( \angle A = 45^\circ \).
2. \( \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
3. Так как \( \angle A = \angle C = 45^\circ \), треугольник \( ABC \) является равнобедренным, и \( AB = BC \).
4. По теореме Пифагора в \( \triangle ABC \): \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).
5. \( 2 AB^2 = 12^2 \)
6. \( 2 AB^2 = 144 \)
7. \( AB^2 = 72 \)
8. \( AB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) см.
9. Значит, \( BC = 6\sqrt{2} \) см.
10. \( BD \) — биссектриса \( \angle ABC \). Так как \( \angle ABC = 90^\circ \), то \( \angle ABD = \angle DBC = 45^\circ \).
11. Рассмотрим \( \triangle DBM \) и \( \triangle DBN \):
    • \( \angle BMD = \angle BND = 90^\circ \) (по условию).
    • \( BD \) — общая гипотенуза.
    • \( \angle ABD = \angle CBD = 45^\circ \).
12. Следовательно, \( \triangle DBM = \triangle DBN \) по гипотенузе и острому углу.
13. Из равенства треугольников следует, что \( DM = DN \) и \( BM = BN \).
14. В \( \triangle AB D \): \( \angle BAD = 45^\circ \), \( \angle ABD = 45^\circ \), \( \angle BDM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
15. Значит, \( \triangle ABD \) — равнобедренный, и \( DM = BM \).
16. Аналогично, в \( \triangle CB D \): \( \angle BCD = 45^\circ \), \( \angle CBD = 45^\circ \), \( \angle BDN = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
17. Значит, \( \triangle CBD \) — равнобедренный, и \( DN = BN \).
18. Таким образом, \( DM = BM \) и \( DN = BN \).
19. \( MN \) — это отрезок, соединяющий точки \( M \) и \( N \).
20. Рассмотрим \( \triangle MBN \). \( \angle MBN = \angle ABC = 90^\circ \).
21. \( BM = DM \) и \( BN = DN \).
22. Из \( \triangle DBM = \triangle DBN \), мы знаем, что \( BM = BN \).
23. Значит, \( \triangle MBN \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.
24. \( BM = BN = AB / 2 = (6\sqrt{2}) / 2 = 3\sqrt{2} \) см.
25. По теореме Пифагора в \( \triangle MBN \): \( MN^2 = BM^2 + BN^2 \)
26. \( MN^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 \)
27. \( MN^2 = (9 2) + (9 2) = 18 + 18 = 36 \)
28. \( MN = \sqrt{36} = 6 \) см.

Ответ: 6 см.