4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, \(\angle\) ADB = \(\angle\) BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, \( BD \perp AB \) (т.е. \( \angle ABD = 90^{\circ} \)), \( \angle ADB = 30^{\circ} \), \( \angle BDC = 30^{\circ} \). Периметр P = 60 см.

1. Найдем углы трапеции:

• \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
• В \( \triangle ABD \) (прямоугольном): \( \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
• Так как \( \angle BAD = 60^{\circ} \) и \( \angle ADC = 60^{\circ} \), то трапеция ABCD является равнобедренной (углы при основании равны). Следовательно, \( BC = AD \) и \( AB = CD \).

2. Найдем длины сторон:

• В \( \triangle ABD \): \( AD = \frac{AB}{\cos(30^{\circ})} = \frac{AB}{\sqrt{3}/2} = \frac{2AB}{\sqrt{3}} \).
• Так как трапеция равнобедренная, \( BC = AD = \frac{2AB}{\sqrt{3}} \) и \( CD = AB \).
• Периметр трапеции: \( P = AB + BC + CD + AD \)
  \( 60 = AB + \frac{2AB}{\sqrt{3}} + AB + \frac{2AB}{\sqrt{3}} \)
  \( 60 = 2AB + \frac{4AB}{\sqrt{3}} \)
  \( 60 = 2AB(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) \)
  \( 60 = 2AB(\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}) \)
  \( 30 = AB \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
  \( AB = \frac{30\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \).
• Избавимся от иррациональности в знаменателе: \( AB = \frac{30\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{60\sqrt{3} - 30 \cdot 3}{4 - 3} = 60\sqrt{3} - 90 \) см.
• Теперь найдем \( AD \): \( AD = \frac{2AB}{\sqrt{3}} = \frac{2(60\sqrt{3} - 90)}{\sqrt{3}} = 2(60 - \frac{90}{\sqrt{3}}) = 120 - \frac{180}{\sqrt{3}} = 120 - \frac{180\sqrt{3}}{3} = 120 - 60\sqrt{3} \) см.

Проверим периметр:

\( AB = 60\sqrt{3} - 90 \)
\( CD = 60\sqrt{3} - 90 \)
\( AD = 120 - 60\sqrt{3} \)
\( BC = 120 - 60\sqrt{3} \)
\( P = (60\sqrt{3} - 90) + (120 - 60\sqrt{3}) + (60\sqrt{3} - 90) + (120 - 60\sqrt{3}) \)
\( P = 60\sqrt{3} - 90 + 120 - 60\sqrt{3} + 60\sqrt{3} - 90 + 120 - 60\sqrt{3} \)
\( P = (-90 - 90) + (120 + 120) + (60\sqrt{3} - 60\sqrt{3} + 60\sqrt{3} - 60\sqrt{3}) \)
\( P = -180 + 240 + 0 = 60 \) см.

Ответ: \( 120 - 60\sqrt{3} \) см.