4. В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной в углы А и В относятся как 3:4 соответственно. Найдите угол между высотой СН и стороной ВС.

Решение:

Пусть \( ∠ A = 3x \) и \( ∠ B = 4x \). Так как треугольник \( ABC \) равнобедренный, и \( ∠ A \) и \( ∠ B \) относятся как \( 3:4 \), то \( ∠ A \) и \( ∠ B \) не могут быть углами при основании (они должны быть равны). Следовательно, \( ∠ A \) — угол при вершине, а \( ∠ B = ∠ C \) — углы при основании. Тогда \( ∠ A = 3x \) и \( ∠ B = ∠ C = 4x \).

Сумма углов треугольника \( 180^\circ \): \( 3x + 4x + 4x = 180^\circ \).

\( 11x = 180^\circ \) \( → x = \frac{180}{11}^\circ \).

\( ∠ A = 3x = 3 · \frac{180}{11} = \frac{540}{11}^\circ \).

\( ∠ B = ∠ C = 4x = 4 · \frac{180}{11} = \frac{720}{11}^\circ \).

\( CH \) — высота, опущенная на сторону \( AB \). В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, также является медианой и биссектрисой. Но здесь \( CH \) опущена на сторону \( AB \), которая не является основанием, так как \( ∠ B = ∠ C \). Значит, \( AB \) — основание.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ∆ CHB \). Угол \( ∠ HCB \) равен \( ∠ C / 2 \) если \( CH \) биссектриса, но \( CH \) — высота.

В прямоугольном \( ∆ CHB \) мы знаем \( ∠ B = ∠ C = \frac{720}{11}^\circ \). Угол \( ∠ B \) в \( ∆ CHB \) равен \( ∠ B = ∠ ABC = \frac{720}{11}^\circ \). Угол \( ∠ CHB = 90^\circ \).

Угол между высотой \( CH \) и стороной \( BC \) — это \( ∠ BCH \).

В \( ∆ CHB \): \( ∠ BCH + ∠ B + ∠ CHB = 180^\circ \).

\( ∠ BCH + \frac{720}{11}^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

\( ∠ BCH = 180^\circ - 90^\circ - \frac{720}{11}^\circ = 90^\circ - \frac{720}{11}^\circ = \frac{990 - 720}{11}^\circ = \frac{270}{11}^\circ \>.

Ответ: \( ∠ BCH = \frac{270}{11}^\circ \).