4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 дм, 13 дм и 15 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Дано:

• Прямая треугольная призма.
• Стороны основания: $$a=4$$ дм, $$b=13$$ дм, $$c=15$$ дм.
• Боковое ребро (высота призмы): $$h$$ = большей высоте основания.

Найти: Объем призмы ($$V$$).

Решение:

1. Находим площадь основания: Основанием призмы является треугольник со сторонами 4, 13, 15. Используем формулу Герона для нахождения площади.
2. Полупериметр: $$p = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ дм.
3. Площадь основания: $$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$$ дм$$^2$$.
4. Высота призмы: В условии сказано, что боковое ребро равно большей высоте основания. Найдем высоты треугольника:
   • Высота к стороне $$a=4$$: $$h_a = \frac{2 S_{осн}}{a} = \frac{2 \cdot 24}{4} = 12$$ дм.
   • Высота к стороне $$b=13$$: $$h_b = \frac{2 S_{осн}}{b} = \frac{2 \cdot 24}{13} = \frac{48}{13} \approx 3.69$$ дм.
   • Высота к стороне $$c=15$$: $$h_c = \frac{2 S_{осн}}{c} = \frac{2 \cdot 24}{15} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2$$ дм.
5. Определение бокового ребра: Большая высота основания равна 12 дм. Значит, высота призмы $$h = 12$$ дм.
6. Объем призмы: Объем призмы находится по формуле $$V = S_{осн} \cdot h$$.
7. Вычисление объема: $$V = 24 \text{ дм}^2 \cdot 12 \text{ дм} = 288$$ дм$$^3$$.

Ответ: 288 дм$$^3$$.