3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания 7 дм, боковое ребро 12 дм. Найдите объем пирамиды.

Дано:

• Правильная треугольная пирамида.
• Сторона основания: $$a = 7$$ дм.
• Боковое ребро: $$l = 12$$ дм.

Найти: Объем пирамиды ($$V$$).

Решение:

1. Площадь основания: В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле $$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$.
2. Вычисление площади основания: $$S_{осн} = \frac{(7 \text{ дм})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{49\sqrt{3}}{4}$$ дм$$^2$$.
3. Радиус описанной окружности около основания: Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности $$R$$ находится по формуле $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.
4. Вычисление радиуса: $$R = \frac{7 \text{ дм}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$$ дм.
5. Высота пирамиды: В правильной пирамиде вершина проецируется в центр описанной около основания окружности. Высота ($$h$$), боковое ребро ($$l$$) и радиус описанной окружности ($$R$$) образуют прямоугольный треугольник: $$l^2 = h^2 + R^2$$.
6. Вычисление высоты: $$h^2 = l^2 - R^2 = (12 \text{ дм})^2 - (\frac{7\sqrt{3}}{3} \text{ дм})^2 = 144 - \frac{49 \cdot 3}{9} = 144 - \frac{49}{3} = \frac{144 \cdot 3 - 49}{3} = \frac{432 - 49}{3} = \frac{383}{3}$$. $$h = \sqrt{\frac{383}{3}}$$ дм.
7. Объем пирамиды: Объем пирамиды находится по формуле $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$.
8. Вычисление объема: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{49\sqrt{3}}{4} \text{ дм}^2 \cdot \sqrt{\frac{383}{3}} \text{ дм} = \frac{49\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{\sqrt{383}}{\sqrt{3}} \text{ дм}^3 = \frac{49\sqrt{383}}{12}$$ дм$$^3$$.

Ответ: $$\frac{49\sqrt{383}}{12}$$ дм$$^3$$.