№ 4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 дм, 13 дм и 15 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Объем призмы равен \( V = S_{осн} \cdot H \).
2. Основание — треугольник со сторонами \( a=4 \) дм, \( b=13 \) дм, \( c=15 \) дм.
3. Найдем площадь основания по формуле Герона. Полупериметр: \( p = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) дм.
4. Площадь основания: \( S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24 \) дм².
5. Боковое ребро призмы равно большей высоте основания. Найдем высоту, опущенную на сторону 4 дм. Пусть эта высота \( h_a \). \( S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot h_a \)
6. \( 24 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_a \)
7. \( 24 = 2 \cdot h_a \)
8. \( h_a = 12 \) дм.
9. Найдем высоту, опущенную на сторону 13 дм. Пусть эта высота \( h_b \). \( S_{осн} = \frac{1}{2} b \cdot h_b \)
10. \( 24 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_b \)
11. \( h_b = \frac{48}{13} \) дм.
12. Найдем высоту, опущенную на сторону 15 дм. Пусть эта высота \( h_c \). \( S_{осн} = \frac{1}{2} c \cdot h_c \)
13. \( 24 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_c \)
14. \( h_c = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2 \) дм.
15. Сравнивая высоты: 12 дм, \( \frac{48}{13} \approx 3.69 \) дм, 3.2 дм. Наибольшая высота равна 12 дм.
16. Высота призмы \( H = h_a = 12 \) дм.
17. Объем призмы: \( V = S_{осн} \cdot H = 24 \cdot 12 = 288 \) дм³.

Ответ: 288 дм³.