4. Упростите выражение \( \frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t \).

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t \).

Подставим эту формулу в числитель дроби:

\( \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t - \sin t} - \sin t \)

Разложим числитель как разность квадратов: \( \cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t) \).

Теперь выражение примет вид:

\( \frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t} - \sin t \)

Сократим дробь, предполагая, что \( \cos t - \sin t \neq 0 \):

\( (\cos t + \sin t) - \sin t \)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( \cos t + \sin t - \sin t \)

\( \cos t \)

Ответ: \( \cos t \).