4. Упростите выражение: √32cos² 3π/8 - √32sin² 3π/8

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \). В данном выражении мы можем вынести \( \sqrt{32} \) за скобки:

1. Вынесем \( \sqrt{32} \) за скобки: \( \sqrt{32} (\cos^2\frac{3\pi}{8} - \sin^2\frac{3\pi}{8}) \).
2. Применим формулу косинуса двойного угла, где \( \alpha = \frac{3\pi}{8} \): \( \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) \).
3. Упростим \( \sqrt{32} \): \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \).
4. Значение \( \cos(\frac{3\pi}{4}) \) равно \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Подставим полученные значения: \( 4\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
6. Выполним умножение: \( 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = -2 \cdot 2 = -4 \).

Ответ: -4