4. Упростить выражение: \(\frac{2a + 2b}{b}\) \(\cdot\) \(\left\)\(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b} \right\)

Решение:

Сначала приведем выражения в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(a - b\) и \(a + b\) равен \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).

\[ \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b} = \frac{a + b}{(a - b)(a + b)} - \frac{a - b}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b) - (a - b)}{(a - b)(a + b)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{a + b - a + b}{a^2 - b^2} = \frac{2b}{a^2 - b^2} \]

Теперь умножим это на первое выражение:

\[ \frac{2a + 2b}{b} \cdot \frac{2b}{a^2 - b^2} \]

Вынесем общий множитель 2 из числителя первой дроби:

\[ \frac{2(a + b)}{b} \cdot \frac{2b}{a^2 - b^2} \]

Сократим 'b' и перемножим:

\[ \frac{2 \cdot 2 (a + b)}{a^2 - b^2} = \frac{4(a + b)}{a^2 - b^2} \]

Так как \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), мы можем сократить \((a + b)\):

\[ \frac{4(a + b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{4}{a - b} \]

Ответ: \(\frac{4}{a - b}\)