4. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла ВСД, угол МСД равен 54°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Нам дано, что стороны АС и ВС треугольника АВС равны, значит, треугольник АВС — равнобедренный. Углы при основании АВ равны:
\[ \angle BAC = \angle ABC \]

Луч СМ является биссектрисой внешнего угла ВСД. Это значит, что он делит внешний угол ВСД пополам.

Нам дан угол
\[ \angle MCD = 54° \]

Так как СМ — биссектриса, то
\[ \angle BCM = \angle MCD = 54° \]

Следовательно, весь внешний угол ВСД равен:

\[ \text{Внешний угол } \angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 54° + 54° = 108° \]

Внутренний угол ∠BCA смежен с внешним углом ∠BCD. Их сумма равна 180°.

\[ \angle BCA = 180° - \text{Внешний угол } \angle BCD \]
\[ \angle BCA = 180° - 108° \]
\[ \angle BCA = 72° \]

Теперь найдем углы при основании в равнобедренном треугольнике АВС. Сумма углов треугольника равна 180°:

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \]

Так как
\[ \angle BAC = \angle ABC \]
, мы можем записать:

\[ 2 \times \angle BAC + \angle BCA = 180° \]
\[ 2 \times \angle BAC + 72° = 180° \]
\[ 2 \times \angle BAC = 180° - 72° \]
\[ 2 \times \angle BAC = 108° \]
\[ \angle BAC = \frac{108°}{2} \]
\[ \angle BAC = 54° \]

Ответ: 54