4. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, боковое ребро равно 22. Найдите объем пирамиды.

Дано:

• Правильная шестиугольная пирамида.
• Сторона основания (a) = 11.
• Боковое ребро (l) = 22.

Найти:

• Объем пирамиды (V).

Решение:

Объем правильной шестиугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \times h \]

где $$S_{\text{основания}}$$ — площадь шестиугольника в основании, а $$h$$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания:

   Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников со стороной $$a$$. Площадь такого треугольника: \[ S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

   Площадь шестиугольника: \[ S_{\text{основания}} = 6 \times S_{\triangle} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

   Подставим $$a = 11$$: \[ S_{\text{основания}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (11)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 121 = \frac{363\sqrt{3}}{2} \]

2. Найдем высоту пирамиды (h):

   В правильной шестиугольной пирамиде высота, боковое ребро и радиус описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $$R = a = 11$$.

   По теореме Пифагора: \[ l^2 = h^2 + R^2 \]

   \[ 22^2 = h^2 + 11^2 \]

   \[ 484 = h^2 + 121 \]

   \[ h^2 = 484 - 121 = 363 \]

   \[ h = \sqrt{363} = \sqrt{121 \times 3} = 11\sqrt{3} \]

3. Найдем объем пирамиды:

   \[ V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \times h \]

   \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{363\sqrt{3}}{2} \times 11\sqrt{3} \]

   \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{363 \times 11 \times 3}{2} \]

   \[ V = \frac{363 \times 11}{2} = \frac{3993}{2} = 1996.5 \]

Ответ: Объем пирамиды равен 1996.5.