3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, объем равен 480. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Высота (h) = 5.
• Объем (V) = 480.

Найти:

• Боковое ребро (l).

Решение:

Объем правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \times h \]

где $$S_{\text{основания}}$$ — площадь квадрата в основании, а $$h$$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания:

   \[ 480 = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \times 5 \]

   \[ S_{\text{основания}} = \frac{480 \times 3}{5} \]

   \[ S_{\text{основания}} = \frac{1440}{5} = 288 \]

2. Найдем сторону основания (a):

   Так как основание — квадрат, то $$S_{\text{основания}} = a^2$$.

   \[ a^2 = 288 \]

   \[ a = \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2} \]

3. Найдем апофему (h_a) пирамиды:

   Апофема — это высота боковой грани. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды (h), апофемой (h_a) и половиной стороны основания (a/2), действует теорема Пифагора: \[ h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

   \[ \frac{a}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \]

   \[ h_a^2 = 5^2 + (6\sqrt{2})^2 = 25 + (36 \times 2) = 25 + 72 = 97 \]

   \[ h_a = \sqrt{97} \]

4. Найдем боковое ребро (l):

   В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой (h_a), половиной стороны основания (a/2) и боковым ребром (l), действует теорема Пифагора: \[ l^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

   \[ l^2 = (\sqrt{97})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 97 + 72 = 169 \]

   \[ l = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ: Боковое ребро пирамиды равно 13.