2. Найти объём прямой призмы ABC A1B1C1, если угол ДСВ=90°; AB= BB1=a; AC=CB.

Дано:

• Прямая призма ABC A1B1C1.
• \[ \angle DCB = 90^{\circ} \]
• \[ AB = BB_1 = a \]
• \[ AC = CB \]

Найти:

• Объем призмы (V).

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле: \[ V = S_{\text{основания}} \times h \]

где $$S_{\text{основания}}$$ — площадь основания, а $$h$$ — высота призмы.

1. Основание призмы — это прямоугольный треугольник ABC (так как \[ \angle ACB = 90^{\circ} \]).
2. Высота призмы — это боковое ребро, которое равно $$BB_1 = a$$.
3. Найдем площадь основания (треугольника ABC):

   \[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times AC \times CB \]

   По условию, $$AC = CB$$. Пусть $$AC = CB = x$$. Тогда: \[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2} x^2 \]

4. Теперь нужно найти длину сторон AC и CB (x).

   В условии дано $$AB = a$$. В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: \[ AC^2 + CB^2 = AB^2 \]

   \[ x^2 + x^2 = a^2 \]

   \[ 2x^2 = a^2 \]

   \[ x^2 = \frac{a^2}{2} \]

   \[ x = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

5. Подставим значение $$x^2$$ в формулу площади основания:

   \[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} x^2 = \frac{1}{2} \times \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} \]

6. Теперь найдем объем призмы:

   \[ V = S_{\text{основания}} \times h \]

   \[ V = \frac{a^2}{4} \times a \]

   \[ V = \frac{a^3}{4} \]

Ответ: Объем призмы равен $$\frac{a^3}{4}$$.