4. Рис. 650. Дано: АВ - касательная, R = 6, AO = OB. Найти: АО.

Решение:

1. Анализ условия: На рисунке 650 изображена окружность с центром О. АВ - касательная к окружности в точке А. Радиус окружности R = 6. Также дано, что AO = OB. Необходимо найти длину отрезка АО.
2. Свойства касательной: Касательная АВ перпендикулярна радиусу ОА, проведенному в точку касания. Следовательно, угол ОАВ = 90 градусов.
3. Анализ треугольника ОАВ: Треугольник ОАВ является прямоугольным с прямым углом в точке А.
4. Использование условия AO = OB: Нам дано, что AO = OB. В прямоугольном треугольнике ОАВ, OA является катетом, а OB является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла А). В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Условие AO = OB означает, что катет равен гипотенузе, что возможно только в вырожденном случае, когда другой катет (АВ) равен нулю. Это противоречит тому, что АВ - касательная.
5. Пересмотр условия: Возможно, в условии задачи допущена ошибка. Обычно в таких задачах дается расстояние от центра до точки касания (радиус) и расстояние от центра до внешней точки. Или длина касательной. Если предположить, что R = 6, и ОА - это радиус, то ОА = 6. Если AO = OB, то OB = 6. Но OB - гипотенуза, которая должна быть больше катета ОА.
6. Альтернативное предположение: Возможно, на рисунке ОА - это радиус, а точка В - другая точка на окружности, и тогда OB - тоже радиус. В этом случае, AO = OB = R = 6. Тогда АВ - это хорда. Но по условию АВ - касательная, а по рисунку она перпендикулярна ОА.
7. Наиболее вероятное толкование: Если R = 6, то ОА = 6 (радиус). Угол ОАВ = 90 градусов. Если предположить, что условие AO = OB является ошибкой, и вместо этого дано, что, например, AB = 8 (длина касательной), тогда $$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$. Если же исходить строго из условия AO = OB, и ОА - радиус (R=6), то OB = 6. В прямоугольном треугольнике ОАВ: $$OB^2 = OA^2 + AB^2$$. $$6^2 = 6^2 + AB^2$$. $$36 = 36 + AB^2$$. $$AB^2 = 0$$. $$AB = 0$$. Это означает, что точка А и точка В совпадают, что противоречит условию, что АВ - касательная.

Вывод: Условие задачи "AO = OB" в контексте "R = 6, АВ - касательная, угол ОАВ = 90" является противоречивым. Если ОА - радиус, то ОА = 6. Если AO = OB, то OB = 6. Но OB - гипотенуза, она должна быть больше катета ОА. Это возможно только если AB=0, что означает, что точки А и В совпадают, и касательной как таковой нет.

Ответ: Если исходить из того, что OA - это радиус, то AO = 6 см. Условие AO = OB делает задачу нерешаемой в рамках стандартной геометрии.