4. Решите простейшее тригонометрическое неравенство 3tg x < √3

Задание 4. Решение простейшего тригонометрического неравенства

Неравенство: \( 3 \mathrm{tg} x < \sqrt{3} \)

Решение:

1. Выделим \( \mathrm{tg} x \): \( \mathrm{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3} \)
2. На графике функции \( y = \mathrm{tg} x \) или на единичной окружности найдём интервалы, где значение \( \mathrm{tg} x \) меньше \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).
3. Учитывая периодичность тангенса с периодом \( \pi \), рассматриваем промежуток \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \).
4. Значение \( \mathrm{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) достигается при \( x = \frac{\pi}{6} \).
5. В интервале \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \) неравенство \( \mathrm{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3} \) выполняется при \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{6} \).
6. Учитывая периодичность, запишем общее решение:
• \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \) — целое число.