4. Решить уравнение: \(\sin 3x + \cos 2x = 1\)

Решение:

Используем формулы: \(\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x\) и \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\).

\[ 3 \sin x - 4 \sin^3 x + 1 - 2 \sin^2 x = 1 \]

\[ 3 \sin x - 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x = 0 \]

\[ \sin x (3 - 4 \sin^2 x - 2 \sin x) = 0 \]

Это даёт два случая:

Случай 1: \(\sin x = 0\)

\[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \(-4 \sin^2 x - 2 \sin x + 3 = 0\)

Пусть \(t = \sin x\). Тогда \(-4t^2 - 2t + 3 = 0\) или \(4t^2 + 2t - 3 = 0\).

Дискриминант \(D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 4 + 48 = 52\).

\[ t = \frac{-2 ± \sqrt{52}}{8} = \frac{-2 ± 2\sqrt{13}}{8} = \frac{-1 ± \sqrt{13}}{4} \]

Так как \(-1 ≤ ± \sqrt{13} ≤ 1\), то \(\frac{-1 + \sqrt{13}}{4} ≥ \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\) и \(\frac{-1 - \sqrt{13}}{4} ≤ \frac{-1 - 3}{4} = -1\).

Значит, \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\) или \(\sin x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{4}\).

Для \(\sin x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{4}\) решений нет, так как \(\frac{-1 - \sqrt{13}}{4} < -1\).

Для \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\) решения: \(x = \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi k\) и \(x = \pi - \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \pi n\) или \(x = \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi k\) или \(x = \pi - \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi k\), \(n, k \in \mathbb{Z}\).